Irakasgai hau, "Geometria Diferentziala eta Topologia" jakintza arloan agertzen da, Kurbak eta Gainazalak, eta Topologia irakasgaiekin batera.

Irakasgai honetan, Kurba eta Gainazalak irakasgaian landu egiten den ingurune hurbileko geometriatik osoko geometriarako bidea egiteko, nahikoa dena erakutsiko da, Topologiak eragin handia duena bertan.

GAITASUNAK



M02CM03 - Kurba eta gainazalen teoria lokalaren teorema nagusiak ezagutzea eta teorema horiek erabiltzeko gai izatea problema geometrikoak ebazteko.

M02CM04 - Tokiko eta osoko, berezko eta kanpoko izaerak bereiztu.

M02CM16 - R3 espazioko kurben eta gainazalen teoria lokala eta propietate globalen arteko harremanak ezarri.

M02CM17 - Kurben eta gainazalen geometria diferentzial globalaren propietate eta teorema aipagarrienak bereganatu.

M02CM18 - Erabili topologia eta kalkulu diferentziala eta integrala, kurben eta gainazalen propietate globalak aztertzeko.

M02CM19 - Aplikatu ekuazio diferentzialak eta lerro eta gainazal gaineko integralak kurben eta gainazalen propietate globalak ondorioztatzeko.





IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK



Erabili topologia eta kalkulu diferentziala eta integrala, kurben eta gainazalen propietate globalak aztertzeko.

Aplikatu ekuazio diferentzialak eta lerro eta gainazal gaineko integralak kurben eta gainazalen propietate globalak ondorioztatzeko.

Kurba lauen gaineko biraketa indizeak lortzea.

Kurba ganbilak bere kurbaduratik abiatuz bereiztea.

Gainazalen orientagarritasunaren problema ezagutzea.

Esferaren zurruntasunaren problema ezagutzea.

Kurben eta gainazalen kurbaduren integralekin jardutea.

Gauss-Green formulak erabiltzen jakitea gainazalen gainean.

Gainazal trinkoak sailkatzen jakitea.

Euler-Poincaré zenbakia lortzea.

Kurba geodesikoen biderik laburrena izatearen propietatearekin lan egitea.

1. PLANOKO ETA ESPAZIOKO KURBEN OSOKO GEOMETRIA: Jordan-en kurbaren teorema. Desberdintza isoperimetrikoa. Lau Erpinen teorema. Cauchy-Crofton-en formula. Ukitzaileen biraketaren teorema. Fenchel-en teorema. Fary-Milnor-en teorema.



2. GAINAZAL TRINKO ORIENTAGARRIEN KARAKTERIZAZIO BAT: Hodi-inguruneak. Gainazal trinko orientagarrien karakterizazioa.



3. GAUSS-BONNET-EN TEOREMA: Gauss-Bonnet-en teorema tokiko inguruneetan. Euler-Poincaré ezaugarria. Gauss-Bonnet-en teorema orokortua eta bere erabilerak.



4. ESFERAREN ZURRUNTASUNA: Liebmann-en teorema. Minkowski eta Herglotz-en formulak. Cohn-Vossen-en teorema.



5. GAINAZAL OSOTUAK: Osotasun geodesikoa eta osotasun metrikoa. Hopf-Rinow-en teorema.



6. BARIAZIO TEKNIKAK ETA ERABILERA GEOMETRIKOAK: Arku-luzeraren lehen bariazio formula, kurba geodesikoak. Arku-luzeraren bigarren bariazio formula, Bonnet-en teorema. Jacobi-ren bektore eremuak eta puntu konjokatuak. Gauss-en kurbadura ez positiboa duten gainazalak.

Teoriazko edukiaz ikasi egin behar dena, liburu zerrendan topa daitekeena jarraituz, ikas ordu magistraletan egingo da. Hauek osatzeko, ariketa ikas orduak ere egingo dira. Horietan, erakutsi egingo da nola erabiltzen den magistraletan ikasitakoa, ariketa erronkei aurrera egiteko.

Mintegietan, ordea, irakasgaiaren nondik norakoa argituko duten erronkak landu egingo dira, ikasleei aldez aurretik igorriak izan direnak gehienetan, hausnarketaren zatirik handiena eurek egin dezaten

• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 100

azterketa idatzia, galderak eta ariketekin: %100

azterketa idatzia, galderak eta ariketekin: %100

Oinarrizko bibliografia

M. P. DO CARMO, Geometría diferencial de curvas y superficies, Alianza Universidad Textos 135, Alianza Editorial, 1990.

L.A. CORDERO, M. FERNÁNDEZ y A. GRAY, Geometría diferencial de curvas y superficies con Matemática©, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

S. MONTIEL y A. ROS, Curvas y superficies, Proyecto Sur, 1998.

M. ABATE, F. TOVENA, Curves and Surfaces, Springer Verlag, 2012.

A.F. COSTA, M. GAMBOA y A.M. PORTO, Notas de Geometría diferencial de curvas y superficies, Sanz y Torres, 1996.

A.S. FEDENKO, Problemas de geometría diferencial, Editorial MIR, 1991.

R. S. MILLMAN y G. D. PARKER, Elements of Differential Geometry, Prentice Hall Inc., 1977.

A. PRESSLEY, Elementary Differential Geometry, Springer Verlag, 2001.

Gehiago sakontzeko bibliografia

S. S. CHERN, Curves and Surfaces in Euclidean Spaces, Studies in Global Geometry and Analysis, MAA Studies in Math., The Mathematical Association of America, 1967.
W. KLINGENBERG, Curso de Geometría diferencial, Alhambra, 1978.