AZALPENA

Irakasgai honetan lehen ordenako ekuazio diferentzial arruntak ebazteko oinarrizko metodoak (analitikoak eta kualitatiboak) aurkezten dira. Goi-ordenako ekuazio diferentzial linealen eta sistema diferentzial linealen azterketa sakona azaltzen da. Cauchyren problemaren soluzioen existentziaren eta bakartasunaren teoria azaltzen da. Sistema autonomoak estudiatzen dira. Sturm-Liouvilleren mugalde-problema aztertzen da. Lehen eta bigarren ordenako deribatu partzialetako ekuazioak tratatzen dira karakteristikoen metodoaren eta aldagaien banantze-metodoaren bidez.



TESTUINGURUA

Ekuazio diferentzialak irakasgaia eta Deribatu partzialetako ekuazioak irakasgaia elkarrekin erlazionatzen dira. Ekuazio diferentzialak irakasgaiaren lehen zatian ekuazio diferentzial arrunten emaitzak eta teknikak aurkezten dira; bigarren zatian eta Deribatu partzialetako ekuazioak irakasgaian deribatu partzialetako ekuazioei buruzko kontzeptuak eta ebazteko teknika bereziak landuko dira, eta haien aplikazio interesgarrienak Geometrian eta Fisikan.

GAITASUNAK

M04CM01 - Ekuazio diferentzial arruntak ebazteko metodo nagusiak aplikatu.

M04CM02 - Ekuazio diferentzialen soluzioen existentziaren eta bakartasunaren teoriako oinarrizko kontzeptuak bereganatu eta funtsezko emaitzak enuntziatu zehaztasunez analisi matematikoaren aurretiko kontzeptuak erabiliz. Baita ere, hasierako balioekiko menpekotasunari buruzko teoremak.

M04CM03 - Ekuazio diferentzialei buruzko emaitzen froga zorrotzak ezagutu eta proposatutako emaitzen froga berriak asmatu.

M04CM04 - Ekuazio diferentzial batzuen ebazpenerako metodo analitikoak, grafikoak eta konputazionalak erabili.

M04CM05 - Ekuazio diferentzial arrunten sistema linealak ebatzi.

M04CM06 - Geometriako, Fisikako eta mundu errealeko problemak ekuazio diferentzialekin erlazionatu.

M04CM07 - Ekuazio diferentzial arrunten soluzioei buruz informazio kualitatiboa lortu, ekuazioa ebatzi gabe.

M04CM08 - Ekuazio diferentzialak ebatzi eta lengoaia matematiko egokiaren bidez ebazpen metodoak azaldu ahoz zein idatziz.

M04CM10 - Problema errealak ekuazio diferentzial arrunt edo deribatu partzialetako ekuazio bihurtu.

M04CM11 - Ekuazio diferentzialen portaera puntu erregularren edo singularren inguruneetan eta oreka-puntuen egonkortasunaren kontzeptua ulertu.



IKASTEAREN EMAITZAK

Ekuazio diferentzial arruntak edo deribatu partzialetako ekuazioak ebazteko metodo nagusiak aplikatu.

Ekuazio diferentzial arrunten sistema linealak ebatzi.

Problema erreal batzuk ekuazio diferentzialen bidez adierazi.

Ekuazio diferentzialen soluzioei buruzko informazio kualitatiboa lortu.

1. EKUAZIO DIFERENTZIALAK. Ekuazio diferentzialen sailkapena. Ekuazio diferentzialen soluzioaren kontzeptua. Kurba familiak eta ibilbide ortogonalak. Jatorri zientifiko-teknologikoko problemak.

2. EBAZPEN-METODO ELEMENTALAK. Lehen ordenako ekuazio diferentzialak ebazteko metodo analitikoak: aldagai bananduetako ekuazioak, ekuazio homogeneoak, ekuazio zehatzak eta integrazio faktoreak, ekuazio diferentzial linealak, Bernouilliren ekuazioak, Riccatiren ekuazioak, ekuazio diferentzial inplizituak. Bigarren ordenako ekuazio diferentzial batzuk ebazteko metodoak. Lehen ordenako ekuazio diferentzialen ebazpenarako metodo kualitatiboak.

3. EKUAZIO DIFERENTZIAL LINEALAK. Lehendabiziko definizioak. Ekuazio diferentzial lineal homogeneoak: Liouvilleren formula, ordenaren beherapenaren metodoa. Ekuazio diferentzial lineal ez-homogeneoak: ordenaren beherapenaren metodoa eta koefizienteen aldakuntzaren edo Lagrangeren metodoa. Koefiziente konstanteetako ekuazio diferentzial linealak. Eulerren ekuazio diferentzialak. Bigarren ordenako ekuazio diferentzial linealak: soluzioen propietate kualitatiboak.

4. EKUAZIO DIFERENTZIALEN EBAZPENA BERRETURA-SERIEEN BIDEZ. Berretura-serieak eta funtzio analitikoak. Lehen ordenako ekuazio diferentzialen ebazpena berretura-serieen bidez. Bigarren ordenako ekuazio diferentzialak: puntu erregularrak eta puntu singular erregularrak. Ekuazio erakuslea eta Frobeniusen serieak. Besselen ekuazioa. Infinituaren inguruko garapenak.

5. SISTEMA DIFERENTZIAL LINEALAK. Sistema diferentzial lineal homogeneoak: oinarrizko matrizea eta Jacobiren formula. Sistema diferentzial lineal ez-homogeneoak. Koefiziente konstanteetako sistema lineal homogeneoak: bektore propioen metodoa eta funtzio esponentzial matriziala.

6. HASIERAKO BALIOETAKO PROBLEMA. EXISTENTZIA-TEORIA. Cauchyren problema: problema diferentziala eta problema integrala. Lipschitzen baldintza. Picarden hurbilketak. Cauchyren problemaren soluzio globalak. Cauchyren problemaren soluzio lokalak. Soluzioen luzapena eta soluzio maximalak. Soluzioen menpekotasuna hasierako balioekiko.

7. SISTEMA AUTONOMOAK. Sistema autonomo lauak: fase-planoa, orbitak. Sistema autonomoen puntu kritikoak eta haien egonkortasuna. Sistema autonomo linealen puntu kritikoen egonkortasuna eta sailkapena. Sistema ez-linealak: linealizazioa eta Liapunoven metodo zuzena.

8. STURM-LIOUVILLEREN PROBLEMAK. Sturm-Liouvilleren problema homogeneo erregularrak: balio propioak, funtzio propioak eta haien propietateak. Funtzio propioen ortogonalitatea eta Fourierren serieak Sturm-Liouvilleren problemen funtzio propioekiko. Sturm-Liouvilleren problema periodikoa. Sturm-Liouvilleren problema erregular ez-homogeneoak: ebazpena funtzio propioen menpe, Greenen funtzioa.

9. DERIBATU PARTZIALETAKO EKUAZIOAK. KARAKTERISTIKOEN METODOA. Ordena bateko Deribatu Partzialetako Ekuazioak. Soluzioen existentzia. Karakteristikoen metodoa. Bi ordenako eta koefiziente konstanteetako DPEak. Sailkapena. Laburketa forma kanonikora karakteristikoen metodoaren bidez. Uhin-ekuazioaren ebazpena planoerdian eta koadrantean.

10. DERIBATU PARTZIALETAKO EKUAZIOAK. ALDAGAIEN BANANTZE-METODOA. Bero-banaketa haga finitu baten problemaren ebazpena. Hari bibratzailearen problemaren ebazpena. Laplace-ren ekuazioaren ebazpena errektangeluan eta zirkuluan.

METODOLOGIA

Eduki teorikoa klase magistraletan azalduko da Bibliografian agertzen diren oinarrizko erreferentziak eta nahitaezko materialak jarraituz. Klase magistralak ariketa-klaseekin (gela-praktikekin) osatuko dira; klase horietan ikasleei proposatuko zaie teoriako klaseetan ikasitakoa problemak ebazteko erabiltzea.

Mintegietan ikasleek aurkeztu eta azalduko dituzte, idatziz edo ahoz, irakasgaiaren galdera edo adibide adierazgarriak irakasleak mintegia baino lehen, oro har, ikasleei proposatutakoak; horrela, ikasleek mintegi egunerako pentsatuta izanez gero, galderak hobeto eztabaidatuko dituzte eta ondorio egokiak aterako dituzte. Ikasleei banakako edo taldeko lanak teoriari buruz edo problemei buruz proposatuko zaizkie. Ikaslearen lanen zati nagusia lan pertsonala izango da. Irakasleak ikasleak orientatuko ditu bidalitako lanetan. Ikasleek irakasgaian aurkitzen dituzten zailtasunak edo zalantzak irakaslearen tutoretzetan argitu ahal izango dituzte.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikusi ORIENTAZIOAK ETA UKO EGITEA (%): 100

OHIKO DEIALDIA:

Azterketa idatziak bai teoriaz bai ariketetaz.

Pisua: % 80 - % 100 (azterketetan nota minimoak 4 izan behar du mintegietako nota kontuan izateko)

Irizpideak:

-Arrazonamenduetan eta definizioetan zehaztasuna.

-Lengoai matematikoaren doitasuna.

-Argudio-metodoak argiak eta ordenatuak pausuak azalduz.

-Ariketen emaitzak zuzenak.



Mintegietako lanak (idatzizkoak edo ahozkoak).

Pisua:% 0 - % 20 (azterketetan nota minimoak 4 izan behar du mintegietako nota kontuan izateko)

Irizpideak:

-Erantzun zuzenak eta lengoai matematikoaren erabilpen ona

-Argitasuna argudioetan

-Ahozko azalpenetan, ordena eta zehaztasuna

-Problemen ebazpenetan ordena eta zehaztasuna

-Asistentzia



Ebaluazio jarraituaren errenuntzia kurtsoko 18garren astera arte egin daiteke, irakasgaiaren arduradunari idazki bat bidaliz.

Ebaluazio finala irakasgai osoaren asterketaren bidez egingo da. Pisua % 100.

Azterketa idatzia. Pisua % 100.

eGela plataforma baldin badago.

Oinarrizko bibliografia

BIBLIOGRAFÍA

*N. ARRIZABALAGA, J. RIVAS, Ekuazio diferentzialak, UPV/EHUko Euskararen Arloko Errektoreordetza, 2020.

*W.E. BOYCE, R.C. DIPRIMA, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa, 2016.

* O. CIAURRI, Instantáneas diferenciales, Servicio de Publicaciones de la Universidad de La Rioja, 2013.

*A. DOU, Ecuaciones en derivadas parciales, Dossat, 1970.

*A. KISELIOV, M. KRASNOW Y G. MAKARENKO, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, MIR, 1984.

*R. K. NAGGLE, E. B. SAFF, Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, 2ª edición, Addison-Wesley Iberoamericana, 1992.

*I. PERAL ALONSO, Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales, Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid,1995.

*F. SIMMONS, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas, McGraw Hill, 1977.

*D.G. ZILL, W.S. WRIGHT, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, Cengage Learning, 2015

Gehiago sakontzeko bibliografia

*M. BRAUN, Differential Equations and Their Applications, Springer Verlag, New York 1978.
*M. W. HIRSCH, S. SMALE, Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal, Alianza Editorial, Alianza Universidad, Textos nº 61, 1983.

Web helbideak

http://www.ehu.eus/izaballa/Ecu_Dif/ecu_dif.htm