Ikastaro honetan, probabilitatearen teoria neurri teoriaren kontextuan ikusten da, baita prozesu estokastikoen teoriaren printzipioak ere. Horrela, ikasleak graduko bigarren mailan Probabilitateen Kalkulua irakasgaian lortutako oinarrizko prestakuntza osatzen da, probabilitatearen teoriaren printzipioen, emaitzen eta aplikazioen garapen sendo eta sistematiko bat eginez.



Irakasgai honek, programazio matematikoa eta aldagai anitzeko analisia irakasgaiekin batera, Matematikako Graduko M14 modulua, Estatistika eta Ikerketa Operatiboaren Hedapena izenekoa, osatzen dute. Modulu honen helburua da probabilitate, estatistika eta ikerketa operatiboko ezagutzak eta teknikak eskaintzea, ikasleak irakasgai horien oinarrizko prestakuntza eta prestakuntza horizontala eskura ditzan, ezagutza eta trebetasun horiek elkarrekin erlazionatutako hainbat norabidetan ulertu eta aplikatzeko. Hiru irakasgai hauek modu independentean ikasi daitezke.



Graduko lehenengo, bigarren eta hirugarren mailetan egiten diren irakasgai hauek nahitaezko baldintzak dira irakasgai hau egiteko: Probabilitateen kalkulua, Neurri eta integrazioa, Analisi konplexua eta Kalkulu diferentziala eta integrala I eta II.

GAITASUNAK

M14CM01- Probabilitateen kalkuluaren, estatistikaren eta programazio matematikoaren kontzeptuak eta emaitzak sakon ezagutzea.

M14CM03- Ausazko fenomenoekin, datuen analisiarekin eta funtzio linealen optimizazioarekin lotutako terminologia zuzen erabiltzea.

M14CM04- Ausazko fenomenoekin eta datuen tratamenduarekin lotutako egoera ohikoak zuzen modelatzea.

M14CM06- Zuzen hautatzea analisi-teknika egokia, egoera horien azterketan lortutako helburuaren arabera.

M14CM07- Kalkuluak edota pantaila grafikoak zuzen egitea, horrelako egoerek eskatzen dituztenak, baliabide teoriko eta/edo konputazional egokiak erabiliz.

M14CM08- Egindako analisien emaitzak kritikoki interpretatzea.



IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK

Probabilitateen eta prozesu estokastikoen kalkulu-problemak planteatzen, ebazten eta interpretatzen jakitea.

EDUKIAK



1. PROBABILITATE ESPAZIOAK: probabilitatea eta neurketa, probabilitate espazioak, probabilitate baldintzatua,

ekitaldien eta ekitaldien bildumaren independentzia.

2. ZORIZKO ALDAGAIAK: funtzio neurgarriak, probabilitate banaketa, zorizko aldagaien independentzia.

3. ITXAROPENA: itxaropena integral gisa, propietateak, uneak, desberdintasun nagusiak.

4. FUNTZIO EZAUGARRIAK: kontzeptua eta propietate nagusiak, deribatuak eta momentuak, inbertsio formulak,

funtzio ezaugarrien identifikazioa.

5. KONBERGENTZIA: zorizko aldagaien konbergentzia moduak, elkarrekiko erlazioak, zenbaki handien lege indartsu eta ahulak, serie aleatorioen konbergentzia, linite zentralaren teorema eta bere orokortzeak.

6. BALDINTZAKO ITXAROPENA: kontzeptua eta propietate nagusiak, martingalak, martingalen konbergentzia.

7. PROZESU ESTOKASTIKOAK: Markov kateak, beste prozesu estokastiko batzuk, prozesuen teoriaren oinarriak.

Klase magistraletan oinarrizko kontzeptu teorikoak eta emaitzak azaltzen, garatu eta ilustratzen dira. Problemen klaseetan klase magistraletan aurkeztutako teoriaren alde praktikoak erakusten dira. Egin beharreko lanak esleitzeko, horiek egiteko jarraibideak erakusteko edota lan batzuk azaltzeko ere erabil daitezke. Mintegietan, ikasleak rol aktiboagoa hartuko du eta landutako gaitasunetan une horretara arte lortutako gaitasunak erakutsi beharko ditu. Saioaren arabera, jarduera desberdinak egingo dira, hala nola, agintzen zaizkien lan teoriko edo/eta praktikoak aurkeztuko dira, bakarka edo taldeko lanak egingo dira, problemak ebatzi,...

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikusi orientazioak (%): 100

EBALUAZIO JARRAITUKO ORIENTAZIOAK:

Irakasgaiaren ebaluazioa teoria edota problemak ebazteko lanen aurkezpenak eta aurkezpenak egitea izango da, baita zenbait idatzizko probak egitea ere. Zehazki:

Idatzizko proba partziala: %25.

Klasean problemen ebazpena, proposatutako problemak eta/edo teoria-lanak entregatu eta aurkeztea, mintegietan eta tutoretzetan parte hartzea: % 20.

Azken proba idatzia: % 55



Idatzizko proba partziala eta azken proba idatzia derrigorrezkoak dira.



Klasean problemak ebaztearen % 20ko ebaluazioa, proposatutako problemak eta/edo teoria-lanak entregatzea eta aurkeztea, mintegietan eta tutoretzetan parte hartzea hautazkoa izango da, beti ere kontuan izanda, etengabeko ebaluazioa aukeratu bada, ez ematea / gauzatzea / aurkeztea ehuneko hori automatikoki galtzea ekarriko du oharrean.



Ohiko deialdiko egunean egiten den azken idatzizko probara aurkezten ez den ikaslea "Ez aurkeztu" bezala ebaluatua izango da.



Ebaluazioa jarraituan parte hartu nahi ez duenak ofizialki uko egin ahal izango dio irakasle arduradunari zuzendutako gutun baten bidez, eta gehienez 15 asteko epean entregatu beharko du seihilekoaren hasieratik hasita.



AZKEN EBALUAZIOAREN ORIENTAZIOAK:

Ohiko deialdiaren egunean idatzizko azterketa egingo da, zeinaren kalifikazioa notaren %100 izango den.



KONTUAN HARTU BEHARREKO GOGOETAK:

Ebaluaketa egitarakoan, honako hauek hartuko dira kontuan:

Idatzizko probetan: zehaztasuna eta zorroztasuna definizioetan, propietateetan eta arrazonamenduetan, emaitzen eta garapenen zuzentasuna, hizkuntza matematikoaren erabilera zuzena eta arrazoitzeko metodo zuzena (jarraitu diren urratsen eta argudioen azalpen argiak, ordenatuak eta arrazoituak) erabiltzen.

Aurkezpenetan eta lanen entregatzean: zehaztasuna eta zorroztasuna definizioetan, propietateetan eta arrazoibideetan, emaitzetan eta garapenetan zuzentzea, hizkuntza matematikoaren erabilera egokia idatziz nahiz ahoz eta justifikazio argi, ordenatu eta arrazoituak erabilitako argudioen artean.

Idatzizko azterketa bat egingo da, zeinaren kalifikazioa notaren %100a izango da.

Klasean emandako eta irakasgaiaren gela birtualean eskuragarri dauden materiala eta problemen zerrendak.

Oinarrizko bibliografia

G.R. GRIMMETT, D.R. STIRZAKER, Probability and Random processes, Oxford Science Publications, 1992

A.F. KARR, Probability, Springer Verlag, 1993.

S.I. RESNICK, A Probability Path, Birkhäuser, 1999.

Gehiago sakontzeko bibliografia

P. BILLINGSLEY, Probability and Measure, Wiley, New York, 1986.
J. NEVEU, Martingales a temps discret, Dunod, 1972.
A. N. SHIRYAYEV, Probability, Springer-Verlag, New York, 1996

Web helbideak

Irakaskuntza presentziala laguntzeko gela birtuala: https://egela.ehu.eus/
Probabilitateko Web Orria: https://www.stat.berkeley.edu/~jpopen/probweb/