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Se generaliza el cálculo diferencial e integral, bien conocido en los espacios euclídeos, a ciertos espacios topológicos denominados variedades diferenciables. Estos espacios localmente se pueden identificar con abiertos de un espacio euclídeo por medio de sistemas de coordenadas locales adecuados. Por tanto, la geometría diferencial local de variedades se reduce al análisis clásico, mientras que los conceptos y relaciones, que son independientes del sistema de coordenadas elegido, son los propios de la geometría diferencial.



Se introducirá el concepto de variedad diferenciable y el de aplicación diferenciable, y se aprenderá a trabajar con coordenadas. Se considerará el espacio tangente, los campos de vectores

y las formas diferenciales sobre variedades. Se definirá la diferencial exterior de formas diferenciales y se estudiará el cálculo integral de formas en variedades diferenciables, probando una versión general del teorema de Stokes y mostrando algunas aplicaciones y casos particulares clásicos como el teorema de Green, y el teorema de Stokes del cálculo.

COMPETENCIAS:



M12CM01- Comprender los conceptos, herramientas y metodología propios de la geometría de variedades

diferenciables.



M12CM02- Conocer el cálculo diferencial e integral en variedades y el cálculo tensorial.



M12CM03- Conocer algunos importantes resultados básicos de la geometría de variedades diferenciables.



M12CM04- Utilizar el cálculo tensorial y exterior, tanto en forma intrínseca como en coordenadas. Aplicar los métodos de

cálculo propios de la geometría diferencial.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE:



1. Utilizar el cálculo tensorial y exterior, tanto en forma intrínseca como en coordenadas.



2. Aplicar los métodos de cálculo propios de la geometría diferencial.

1. VARIEDADES DIFERENCIABLES: Concepto de variedad diferenciable. Ejemplos. Topología de una variedad. Aplicaciones diferenciables entre variedades. Difeomorfismos. Espacios tangente y cotangente. La diferencial de una aplicación diferenciable. Regla de la cadena. Clasificación de aplicaciones diferenciables según el rango de su diferencial.



2. CAMPOS DE VECTORES SOBRE UNA VARIEDAD: Campos de vectores. Álgebra de Lie de los campos de vectores. Cálculos en coordenadas. Campos de vectores relacionados por una aplicación diferenciable. Curvas integrales de un campo de vectores. Flujo. Distribuciones y teorema de Frobenius.



3. FORMAS DIFERENCIALES: Formas diferenciales sobre variedades. Producto exterior. El álgebra exterior de una variedad. La diferencial exterior de formas diferenciales. Formas cerradas y exactas. Nociones sobre los grupos de cohomología de De Rham. Números de Betti e invarianza por difeomorfismos. Derivada de Lie y producto interior.



4. INTEGRACIÓN EN VARIEDADES: Formas de volumen y orientación. Integración en variedades. Dominios regulares. Teorema de Stokes. Aplicaciones.

Los aspectos más destacados se expondrán en las clases magistrales siguiendo las referencias básicas que figuran en la Bibliografía.



Como complemento a las clases magistrales habrá prácticas de aula (o clases de problemas) y seminarios.



En las prácticas de aula se propondrá a los alumnos resolver problemas en los que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas.



En los seminarios se desarrollarán cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a éllo.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 50
  • Praktikak egitea (ariketak, kasuak edo buruketak) (%): 5
  • Banakako lanak (%): 25
  • alde lanak (arazoen ebazpenak, proiektuen diseinuak) (%): 10
  • Lanen, irakurketen... aurkezpena (%): 10

Pruebas objetivas (examen escrito en el período de exámenes):50%

Entrega de ejercicios y problemas propuestos: 5%

Trabajos individuales: 25%

Trabajos en equipo: 10%

Exposición de trabajos: 10%







Según el punto 3 del artículo 8 de la Normativa reguladora de la Evaluación del Alumnado en las titulaciones oficiales de Grado, "el alumnado tendrá derecho a ser evaluado mediante el sistema de evaluación final, independientemente de que haya participado o no en el sistema de evaluación continua. Para ello, el alumnado deberá presentar por escrito al profesorado responsable de la asignatura la renuncia a la evaluación continua, para lo que dispondrán de un plazo de 9 semanas para las asignaturas cuatrimestrales [...], a contar desde el comienzo del cuatrimestre [...]". Dicha evaluación final consistirá en un examen escrito que supondrá toda la nota de la asignatura.

Pruebas objetivas (examen escrito): 100%.

Oinarrizko bibliografia

W. M. BOOTHBY, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 1975.



F. BRICKELL y R. S. CLARK, Differentiable manifolds, an introduction, Van Nostrand, 1970.



P.M. GADEA y J. MUÑOZ, Analysis and algebra on differentiable manifolds: a workbook for students and teachers, Kluwer Academic Publishers, 2001.



J.M. GAMBOA y J.M. RUIZ, Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, 2ª Edición, Sanz y Torres, 2006.



J. M. LEE, Introduction to smooth manifolds, Springer Verlag, 2002.



F. WARNER, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer Verlag, 1983.

Web helbideak

https://www.ime.usp.br/~gorodski/teaching/mat5799-2015/hitchin-manifolds2012.pdf