Hizkuntzen arteko Corpusa (HAC)

Gainera, matematikariek adierazitako zenbait axioma unibertsal 10) substantzia hauez apartekoak dira.

Adem?s, algunos axiomas universales son formulados por los 10 matem?ticos aparte de estas substancias.

En outre, les math?maticiens ?crivent des formules universelles [10] en dehors de ces substances.

Again, there are certain mathematical theorems that are universal, extending beyond these substances.

Horrela, bada, beste bitarteko substantziaren bat izango da, Ideietatik eta Bitarteko errealitateetatik banandua, hau ez zenbakia, ez puntuak, ez magnitutea ezta denbora ere ez dena.

As?, pues, tambi?n ?sta ser? otra substancia intermedia separada de las Ideas y de las cosas intermedias, la cual no ser? ni n?mero, ni puntos, ni magnitud, ni tiempo.

Ce sera donc encore je ne sais quelle autre substance interm?diaire, s?par?e des Id?es et des ?tres interm?diaires, qui n'est ni un nombre ni des points ni une grandeur ni un temps.

Here then we shall have another intermediate substance separate both from the Ideas and from the intermediates,-a substance which is neither number nor points nor spatial magnitude nor time.

Hala ere, hau ezinezkoa bada, argi dago haiek sentimenezko gauzez aparte existitzea ere ezinezkoa izango dela.

Y, si esto es imposible, es evidente que tambi?n es imposible que existan aquellas cosas separadas de las cosas sensibles.

Mais, si cela est impossible, il est ?videmment impossible que ces objets math?matiques aussi soient s?par?s des sensibles.

And if this is impossible, plainly it is also impossible that the former entities should exist separate from sensible things.

Eta, orokorrean, errealitate matematikoak horrelakoak direla 15)-natura banandu modukoak-baieztatzen bada, egiaren eta iritzi arruntaren kontrako ondorio bat suertatuko da, horrelakoak izateagatik, sentimenezko magnituteen aurrekoak izango baitira nahitaez, egiatan ondorengoak badira ere.

15 En suma, se pondr? en contra de la verdad y del com?n sentir quien diga que las Cosas matem?ticas existen como naturalezas separadas. Pues, si existieran as?, ser?an necesariamente anteriores a las magnitudes sensibles; pero en realidad son posteriores.

D'une mani?re g?n?rale, il en r?sulte des conceptions contraires ? la [15] v?rit? et ? ce qu'on pense d'habitude, si on pose que les objets math?matiques existent comme je ne sais quelles natures s?par?es.

And, in general, conclusion contrary alike to the truth and to the usual views follow, if one is to suppose the objects of mathematics to exist thus as separate entities. For because they exist thus they must be prior to sensible spatial magnitudes, but in truth they must be posterior;

Izan ere, magnitute osagabea aurrekoa da genesiari dagokionez, baina ondorengoa substantziari dagokionez, arimagabea arimadunarekiko bezala.

En efecto, la magnitud imperfecta es anterior en cuanto a la generaci?n, pero posterior en cuanto a la substancia, como 20 lo inanimado frente a lo animado.

En effet, il est n?cessaire, du fait qu'elles ont une existence de cette sorte, qu'elles soient ant?rieures aux grandeurs sensibles, alors qu'elles sont en v?rit? post?rieures, car la grandeur imparfaite est ant?rieure par la g?n?ration, mais post?rieure par la substance, [20] comme l'inanim? par rapport ? l'anim?.

for the incomplete spatial magnitude is in the order of generation prior, but in the order of substance posterior, as the lifeless is to the living.

20) Bestalde, noiz eta zer dela eta osatzen dute batasun bat magnitute matematikoek?

Adem?s, ?en virtud de qu? y cu?ndo ser?n una unidad las magnitudes matem?ticas?

En outre, par quoi et ? quel moment les grandeurs math?matiques seront-elles une unit? ?

Again, by virtue of what, and when, will mathematical magnitudes be one?

Mundu honetako gauzak, hain zuzen ere, arima edo arimaren zati batengatik edo beste gauza egokiren batengatik dira batasun bat (bestela, aniztasun bat lirateke eta barreiatu egingo lirateke); baina errealitate haietarako, haiek zatigarriak eta kantitatedunak izanik, zein da batasun bat osatzearen eta elkarturik jarraitzearen kausa?

Las cosas de aqu? abajo lo son por el alma o por una parte del alma o por alguna otra cosa razonable (y, si no, son una pluralidad y se separan); pero para aqu?llas, que son divisibles y cuantas, ?cu?l es la causa de que sean una unidad y permanezcan juntas?

En effet, les grandeurs sensibles sont une par l'?me ou une partie de l'?me ou quelque autre raison, sinon, elles sont multiples et se dissolvent, alors que, pour ces grandeurs math?matiques qui sont divisibles et des quantit?s, quelle est la cause de leur unit? et de sa persistance ?

For things in our perceptible world are one in virtue of soul, or of a part of soul, or of something else that is reasonable enough; when these are not present, the thing is a plurality, and splits up into parts. But in the case of the subjects of mathematics, which are divisible and are quantities, what is the cause of their being one and holding together?

25) Gainera, beren genesiek agerian uzten dute:

Adem?s, los modos de generaci?n lo demuestran.

En outre, leur g?n?ration le montre.

Again, the modes of generation of the objects of mathematics show that we are right.

lehenengoz, luzeran sortzen dira, gero zabaleran eta, amaitzeko, sakonean, horrela osakuntza osoa lortzen dutelarik.

Pues se generan primero en longitud, 25 despu?s en latitud y, por ?ltimo, en profundidad, con lo que alcanzan su t?rmino.

En effet, elles sont d'abord [25] engendr?es selon la longueur, puis selon la largeur, enfin selon la profondeur et c'est tout.

For the dimension first generated is length, then comes breadth, lastly depth, and the process is complete.

Beraz, genesiari dagokionez ondorengoa dena substantziari dagokionez aurrekoa baldin bada, gorputza zabaleraren eta luzeraren aurrekoa izango da; hau dela eta, burutua ere izango da eta, neurri handi batean, osotasun bat, arimadun izatera iristen delako.

Pues bien, si lo posterior en cuanto a la generaci?n es anterior en cuanto a la substancia, el cuerpo ser? anterior a la superficie y a la longitud; y, en este sentido, es tambi?n m?s perfecto y en mayor grado un todo, porque llega a ser animado;

Donc, si ce qui est post?rieur par la g?n?ration est ant?rieur par la substance, le corps sera ant?rieur ? la surface et ? la longueur et, de cette fa?on aussi, il sera plus accompli et plus un tout parce qu'il vient ? ?tre anim?.

If, then, that which is posterior in the order of generation is prior in the order of substantiality, the solid will be prior to the plane and the line. And in this way also it is both more complete and more whole, because it can become animate.

Bestalde, 30) lerro bat edo zabalera bat, nola izan litezke ?

Tal pretensi?n estar?a, en efecto, por encima de 30 nuestros sentidos.

Mais comment une ligne ou une surface seraient-elles anim?es ?

How, on the other hand, could a line or a plane be animate?

Horrelako ustea gure sentimenezko ezagutzatik kanpo geratzen da.

Adem?s, el cuerpo es una substancia (pues ya tiene en cierto modo la perfecci?n);

[30] De fait, la port?e de cette proposition outrepasserait nos sens !

The supposition passes the power of our senses. Again, the solid is a sort of substance;

Gainera, gorputza substantziaren bat da (nolabait buruturik baitago jadanik), baina lerroak, nola izango dira substantziak? Ez, behintzat, forma eta konstituzio modura-arima omen den bezala-, ezta materia modura ere-gorputza, adibidez-, ez baitirudi lerroz, zabaleraz eta puntuz ezer osa 35) daitekeenik;

pero las l?neas ?c?mo han de ser substancias? No pueden serlo, en efecto, como una especie o forma, como lo es sin duda el alma, ni como materia, como lo es el cuerpo;

En outre, le corps est une certaine substance, car il poss?de d?j? en quelque sorte son ach?vement, mais comment les lignes seraient-elles substances ?

But how can lines be substances? Neither as a form or shape, as the soul perhaps is, nor as matter, like the solid;

hala ere, errealitate hauek nolabaiteko substantzia materiazko bat izango balira, halako afekzioak jasateko gai azalduko lirateke.

pues no parece que haya nada que pueda 35 componerse de l?neas ni de superficies ni de puntos, y, si fueran una substancia material, ver?amos cosas capaces de tal composici?n.

En effet, ce ne serait ni ? la mani?re d'une forme et d'un aspect, comme l'?me, si effectivement elle est telle, ni ? la mani?re d'une mati?re, comme le corps, car manifestement rien ne peut se constituer avec des lignes, des surfaces [35] et des points, alors que, s'ils ?taient une substance mat?rielle, on les verrait capables d'avoir cette propri?t?.

for we have no experience of anything that can be put together out of lines or planes or points, while if these had been a sort of material substance, we should have observed things which could be put together out of them.

Demagun, bada, definizioari dagokionez aurrekoak direla; baina 1077b) definizioari dagokionez aurrekoak diren gauza guztiak ez dira aurrekoak substantziari dagokionez.

(1077b) Sean, pues, anteriores en cuanto al enunciado; pero no todas las cosas que son anteriores en cuanto al enunciado son tambi?n anteriores en cuanto a la substancia.

Admettons donc [1077b] qu'ils sont ant?rieurs par l'?nonc?, mais il n'est pas vrai que tout ce qui est ant?rieur par l'?nonc? soit aussi ant?rieur par la substance.

Grant, then, that they are prior in definition. Still not all things that are prior in definition are also prior in substantiality.

Izan ere, substantziari dagokionez, bananduak direlarik, izateari dagokionez nagusiagoak diren horiek dira aurrekoak, eta definizioari dagokionez, horiek zeinen definizioak besteen definizioetan sartzen diren;

Son, en efecto, anteriores en cuanto a la substancia las cosas que, estando separadas, son superiores en cuanto al ser, y anteriores en cuanto al enunciado, aquellas de cuyos enunciados se componen los enunciados 5 de otras.

En effet, est ant?rieur par la substance tout ce qui, s?par?, se distingue par l'existence, mais est ant?rieur par l'?nonc? tout ?nonc? dont les ?nonc?s sont compos?s.

For those things are prior in substantiality which when separated from other things surpass them in the power of independent existence, but things are prior in definition to those whose definitions are compounded out of their definitions;

baina bata eta bestea ez dira batera ematen.

Pero estas dos anterioridades no se dan simult?neamente.

Or les deux cas n'existent pas en m?me temps.

and these two properties are not coextensive.

Izan ere, afekzioak substantziez aparte ematen ez badira-adibidez, 5) "mugimenduan egon" edo "zuria"-"zuria" definizioari dagokionez izango da "gizaki zuriaren" aurrekoa, baina ez substantziari dagokionez, ezin baitu banandurik eman, osatuarekin batera baizik (eta "osatua" gizaki zuriari esaten diot).

Pues, si no existen las afecciones aparte de las substancias, por ejemplo "movido" o "blanco", "blanco" ser? anterior a "hombre blanco" en cuanto al enunciado, pero no en cuanto a la substancia; pues no puede existir separado, sino que existe siempre junto con el todo concreto (y llamo todo concreto al "hombre blanco").

En effet, si [5] les propri?t?s n'existent pas en dehors des substances, par exemple mobile ou blanc, blanc est ant?rieur ? humain blanc selon l'?nonc?, mais non selon la substance.

For if attributes do not exist apart from the substances (e.g. a 'mobile' or a pale'), pale is prior to the pale man in definition, but not in substantiality. For it cannot exist separately, but is always along with the concrete thing; and by the concrete thing I mean the pale man.

Beraz, agerian dago kendutakoa aurrekoa ez dela, ezta gehitutakoa 10) ondorengoa ere; horrela, "gizaki zuria" "zuriari" < "gizaki"> gehituz adierazten da.

Por consiguiente, est? claro que ni el producto de la abstracci?n es anterior ni el de la adici?n es 10 posterior; pues por adici?n de "hombre" a "blanco" es como se forma el enunciado "hombre blanco".

De fait, il ne peut exister s?par?, mais il existe toujours en m?me temps que le compos? (j'appelle compos? l'?tre humain blanc), de sorte que, manifestement, ce qui r?sulte d'une [10] soustraction n'est pas ant?rieur, non plus que ce qui r?sulte d'une addition n'est post?rieur, car l'?tre humain blanc se dit par addition ? blanc.

Therefore it is plain that neither is the result of abstraction prior nor that which is produced by adding determinants posterior; for it is by adding a determinant to pale that we speak of the pale man.

Horrela, bada, nahikoa azalduta dago gorputzekin alderatuta ez direla neurri handiagoz substantzia, eta ez direla sentimenezko gauzen aurrekoak izateari dagokionez, definizioari dagokionez baizik;

As?, pues, queda suficientemente explicado que las Cosas matem?ticas ni son substancias en mayor grado que los cuerpos ni son anteriores a las cosas sensibles en cuanto al ser, sino tan s?lo en cuanto al enunciado, ni es posible que existan separadas.

Donc ne sont pas plus substances que les coips, ils ne sont pas ant?rieurs par l'?tre aux sensibles, mais par l'?nonc? seulement, et ne peuvent nulle part exister s?par?s : cela a ?t? assez expliqu?.

It has, then, been sufficiently pointed out that the objects of mathematics are not substances in a higher degree than bodies are, and that they are not prior to sensibles in being, but only in definition, and that they cannot exist somewhere apart.

eta, azkenik, ezin direla inolaz ere bananduta existitu. 15) Eta sentimenezko gauzetan izatea ere ezinezkoa denez, agerian dago, edo ez direla, besterik gabe, edo badirela nolabait, baina ez zentzu absolutuan. Izan ere, "izan" zentzu askotan esaten dugu.

15 Y, puesto que, como hemos visto, tampoco pueden existir en las cosas sensibles, est? claro que o no existen en absoluto o existen de cierta manera, y, por consiguiente, no se les puede atribuir el ser absolutamente. "Ser", en efecto, lo decimos en varios sentidos.

Mais, puisqu'il n'est pas possible non plus qu'ils soient [15] dans les sensibles, il est manifeste qu'ils ne sont pas du tout ou qu'ils sont d'une certaine fa?on et que, pour cette raison, ils ne sont pas absolument, car nous disons " ?tre " en plusieurs sens.

But since it was not possible for them to exist in sensibles either, it is plain that they either do not exist at all or exist in a special sense and therefore do not 'exist' without qualification. For 'exist' has many senses.

III

Cap?tulo 3

3

Part 3

Matematikarien proposizio unibertsalak magnitudeez eta zenbakiez aparteko gauza bananduei buruzkoak ez diren bezala, magnitudeei eta zenbakiei buruzkoak baizik-baina ez horrelakoak diren 20) aldetik, hots, magnitudedunak eta bananduak-, argi dago sentimenezko magnitudeei buruz ere esakuneak eta demostrazioak izan daitezkeela, ez sentimenezkoak diren aldetik, ezaugarri zehatzak dituzten aldetik baizik.

Pues as? como las proposiciones universales, en las Matem?ticas, no tratan de cosas separadas aparte de las magnitudes y de los n?meros, sino que tratan de ?stos, pero no en cuanto son 20 capaces de tener magnitud o de ser divisibles, es evidente que tambi?n acerca de las magnitudes sensibles puede haber enunciados y demostraciones, pero no en cuanto sensibles, sino en cuanto dotadas de determinadas cualidades.

En effet, de m?me aussi que les propositions universelles en math?matiques ne portent pas sur des choses s?par?es, en dehors des grandeurs et des nombres, et qu'elles portent sur ceux-l?, mais non en tant qu'ils sont [20] tels qu'ils ont une grandeur ou qu'ils sont divisibles, pour les grandeurs sensibles aussi, il peut ?videmment y avoir des ?nonc?s et des d?monstrations, non en tant que sensibles, mais en tant que telles ou telles.

For just as the universal propositions of mathematics deal not with objects which exist separately, apart from extended magnitudes and from numbers, but with magnitudes and numbers, not however qua such as to have magnitude or to be divisible, clearly it is possible that there should also be both propositions and demonstrations about sensible magnitudes, not however qua sensible but qua possessed of certain definite qualities.

Izan ere, sentimenezko gauzei buruzko esakune asko, horiek mugimenduan dauden aldetik bakarrik adierazten dira-gauza bakoitzaren zerkia eta akzidenteak alde batera utzirik-, baina horregatik ez da nahitaez 25) izan behar sentimenezko gauzez aparte mugitzen den ezer edo haien baitako beste natura zehazturen bat. Era berean, gauza mugikorrez ere izango dira esakuneak eta zientziak, ez mugikorrak diren aldetik, gorputzak diren aldetik baizik;

Pues as? como hay muchos enunciados que consideran las cosas exclusivamente en cuanto se mueven, sin preocuparse de qu? es cada una de tales 25 cosas ni de sus accidentes, y de aqu? no se sigue necesariamente que o bien haya algo que se mueve separado de las cosas sensibles o que haya en ?stas cierta naturaleza determinada y aparte, as? tambi?n acerca de las cosas que se mueven habr? enunciados y ciencias, pero no en cuanto se mueven, sino tan s?lo en cuanto cuerpos, y, nuevamente, o bien s?lo en cuanto superficies o s?lo en cuanto longitudes, y en cuanto divisibles, o en cuanto indivisibles dotadas de posici?n, o s?lo en cuanto 30 indivisibles.

En effet, il y a aussi beaucoup d'?nonc?s portant sur les choses seulement en tant qu'elles sont en mouvement, mis ? part le ce que c'est de chacune des choses de cette sorte et de leurs co?ncidents, [25] et il n'est pas n?cessaire pour autant qu'il existe une chose en mouvement, s?par?e des sensibles, et en mouvement, ou qu'il existe en eux quelque nature d?termin?e ; c'est de la m?me fa?on aussi qu'il y aura ?nonc?s et sciences des corps en mouvement, non en tant qu'ils sont en mouvement, mais seulement en tant que corps, et de nouveau en tant que surfaces seulement et en tant que longueurs seulement, en tant que divisibles, [30] en tant qu'indivisibles ayant une position, et en tant qu'indivisibles seulement.

For as there are many propositions about things merely considered as in motion, apart from what each such thing is and from their accidents, and as it is not therefore necessary that there should be either a mobile separate from sensibles, or a distinct mobile entity in the sensibles, so too in the case of mobiles there will be propositions and sciences, which treat them however not qua mobile but only qua bodies, or again only qua planes, or only qua lines, or qua divisibles, or qua indivisibles having position, or only qua indivisibles.

eta, berriro, zabalerak diren aldetik, eta luzerak diren aldetik, eta zatigarriak diren aldetik, eta zatiezinak eta posiziodunak diren 30) aldetik, eta zatiezinak diren aldetik. Beraz, gauza bananduak ezezik ez-bananduak ere existitzen direla, besterik gabe esatea egia denez (adibidez, gauza mugikorrak badaudela), Errealitate matematikoak existitzen direla-eta esaten duten modukoak direla-besterik gabe esatea ere izango da egia.

Por consiguiente, puesto que se puede decir absolutamente y con verdad que tienen ser no s?lo las cosas separadas, sino tambi?n las no separadas (por ejemplo, que existen cosas movidas), tambi?n ser? verdad decir que las Cosas matem?ticas son absolutamente, y que son tales como dicen.

En cons?quence, puisqu'il est vrai de dire simplement que non seulement les choses s?parables existent, mais aussi les non s?parables (par exemple qu'il existe des choses en mouvement), il est vrai de dire simplement que les objets math?matiques aussi existent, et qu'ils existent pr?cis?ment tels qu'on le dit.

Thus since it is true to say without qualification that not only things which are separable but also things which are inseparable exist (for instance, that mobiles exist), it is true also to say without qualification that the objects of mathematics exist, and with the character ascribed to them by mathematicians.

Eta gainerako zientziak 35) objektu zehatz batez arduratzen direla-ez akzidenteaz (adibidez, ez zuriaz, osasuntsua zuria baldin bada eta zientzia osasuntsu denaz 1078a) arduratzen bada), zientzia bakoitzaren objektuaz beraz baizik (osasuntsu denaz, osasuntsu den aldetik ikertzen badu, eta gizakiaz, gizakia den aldetik ikertzen badu)-, hau besterik gabe esatea egia den bezala, geometriaz ere gauza bera esan daiteke:

Y as? como es 35 absolutamente verdadero decir que las dem?s ciencias tratan de un objeto determinado, pero no del accidente (por ejemplo, de lo blanco, si lo sano es blanco, pero la ciencia trata de lo sano), (1078?) sino de aquello que constituye el objeto de cada una (si trata de su objeto en cuanto sano, de lo sano, y, si en cuanto hombre, del hombre), as? tambi?n la Geometr?a:

Et de m?me qu'il est vrai aussi de dire simplement [35] que toutes les sciences sont sciences de tel ou tel objet, non du co?ncident (par exemple, est la science du blanc, si le blanc est sain, mais en tant qu'il est sain), mais sciences de cet objet [1078a] dont chacune est science :

And as it is true to say of the other sciences too, without qualification, that they deal with such and such a subject-not with what is accidental to it (e.g. not with the pale, if the healthy thing is pale, and the science has the healthy as its subject), but with that which is the subject of each science-with the healthy if it treats its object qua healthy, with man if qua man:-so too is it with geometry;

ikertzen dituen gauzak akzidentalki sentimenezkoak izan arren-ez baititu sentimenezkoak diren aldetik ikertzen-, zientzia matematikoak ez dira sentimenezko gauzez arduratuko, ezta, jakina, hauez aparteko beste gauza bananduez ere.

si las cosas de que trata son accidentalmente sensibles, pero no las trata en cuanto sensibles, las ciencias matem?ticas no tendr?n como objeto las cosas sensibles, pero tampoco, fuera de ?stas, otras cosas separadas.

le sain appartient ? la science du sain et, si c'est en tant qu'humain, objet de la science de l'humain, de la m?me fa?on aussi il est vrai de le dire de la g?om?trie ;

if its subjects happen to be sensible, though it does not treat them qua sensible, the mathematical sciences will not for that reason be sciences of sensibles-nor, on the other hand, of other things separate from sensibles.

5) Bestalde, ezaugarri asko berezko akzidenteak dira gauzetarako, ezaugarri horiek gauzetan ematen diren aldetik, animaliak ere, ar eta eme diren aldetik berezko afekzioak baititu (animaliengandik "ar" eta "eme" banandurik ez egon arren).

5 Muchos atributos son, para las cosas, accidentes propios, en cuanto que cada una es de tal condici?n; as?, el animal, en cuanto hembra y en cuanto macho, tiene afecciones propias (pero no hay "hembra" ni "macho" separados de los animales).

s'il arrive que les objets dont elle traite sont des sensibles, mais qu'elle n'en traite pas en tant que sensibles, il n'est pas vrai que les sciences math?matiques seront sciences des sensibles ni, bien s?r, d'autres ?tres s?par?s en dehors de ceux-l?.

e.g. there are attributes peculiar to the animal qua female or qua male (yet there is no 'female' nor 'male' separate from animals); so that there are also attributes which belong to things merely as lengths or as planes.

Beraz, luzerak diren aldetik eta zabalerak diren aldetik ere bai.

Por consiguiente, tambi?n s?lo en cuanto longitudes y en cuanto superficies.

[5] Il y a beaucoup de co?ncidents par soi pour les choses, au sens o? chacun de ces co?ncidents appartient ? de telles choses, puisque ce sont des affections propres ? l'animal, selon qu'il est femelle ou m?le (et pourtant, il n'existe pas de femelle ni de m?le s?par?s des animaux), de sorte que cela est vrai aussi consid?r?es seulement en tant que longueurs et en tant que surfaces.

And in proportion as we are dealing with things which are prior in definition and simpler, our knowledge has more accuracy, i.e.

Eta zientziaren objektua sinpleagoa eta definizioari dagokionez aurrekoagoa den neurrian, zientzia zehatzagoa izango da 10) (zehaztasuna sinpletasuna baita);

Y, cuanto m?s anteriores en cuanto al enunciado sean las cosas de que se trata y cuanto m?s simples, tanto 10 mayor es la exactitud (la exactitud es la simplicidad);

Et de surcro?t, plus la science traitera de choses premi?res [10] logiquement et simples, plus elle a d'exactitude, c'est-?-dire de simplicit? ;

simplicity. Therefore a science which abstracts from spatial magnitude is more precise than one which takes it into account;

beraz, magnituderik gabe magnituterekin baino zehatzagoa izango da eta are zehatzagoa mugimendurik gabe;

de suerte que sin magnitud es mayor la exactitud que con magnitud, y sobre todo sin movimiento, y, si tiene movimiento, sobre todo si tiene el primero, pues ?ste es el m?s simple, y, de ?ste, el que es uniforme.

par suite l'exactitude est plus grande pour les objets sans grandeur que pour les objets avec grandeur, et surtout pour les objets sans mouvement, mais, s'ils ont un mouvement, ce sera surtout le mouvement premier, car c'est le plus simple et encore plus simple, le mouvement uniforme.

and a science is most precise if it abstracts from movement, but if it takes account of movement, it is most precise if it deals with the primary movement, for this is the simplest; and of this again uniform movement is the simplest form.

eta mugimendua izanez gero, mugimendu lehenaz arduratzen baldin bada, zehatz-zehatza izango da, mugimendu lehena sinpleena baita eta hauetatik, uniformea. Eta gauza bera esan daiteke harmoniari eta optikari buruz, batak 15) eta besteak aztertzen dituztenek ez baitituzte ikusmen edo soinu diren aldetik aztertzen, lerroak eta zenbakiak diren aldetik baizik (bestalde, hauek haien afekzio partikularrak dira), eta berdin mekanikak;

Y lo mismo puede decirse de la ciencia que estudia la armon?a, y de la ?ptica; pues ni una ni otra considera su objeto en 15 cuanto visi?n o en cuanto sonido, sino en cuanto l?neas y n?meros (?stos, sin embargo, son afecciones propias de aqu?llos). Y la Mec?nica, igualmente;

Le m?me raisonnement vaut aussi pour la science de l'harmonie et pour l'optique, car ni l'une ni l'autre [15] n' ?tudie la vision en tant que vision ou le son en tant que son, mais en tant que lignes et nombres (pourtant ce sont des affections propres ? la vision et au son), et il en est de m?me pour la m?canique.

The same account may be given of harmonics and optics; for neither considers its objects qua sight or qua voice, but qua lines and numbers; but the latter are attributes proper to the former. And mechanics too proceeds in the same way.

beraz, objektu hauek akzidenteetatik bananduak direlakoan eta horrelakoak diren aldetik ikasten badira, ez da horregatik huts egingo, lurrean oin bateko ez den lerro bat eginda oin batekoa dela esatean ere huts egiten ez den bezala, hutsegitea 20) ez baitago premisetan.

de suerte que, si uno, suponiendo estos objetos separados de los accidentes, los estudia en cuanto tales, no incurre por ello en ning?n error, como tampoco si traza una l?nea 20 en el suelo y le atribuye la longitud de un pie sin que la tenga. El error, en efecto, no est? en las premisas.

Par suite, si on pose comme s?par?s certains des co?ncidents et si on les examine en tant que tels, par ce moyen, on ne commettra aucune erreur, non plus que quand on tire un trait sur le sol et [20] qu'on d?clare longue d'un pied la ligne qui n'a pas un pied de long, car l'erreur n'est pas dans les pr?misses.

Therefore if we suppose attributes separated from their fellow attributes and make any inquiry concerning them as such, we shall not for this reason be in error, any more than when one draws a line on the ground and calls it a foot long when it is not; for the error is not included in the premisses.

Bestalde, hau da objektu bakoitza ikasteko metodorik onena-banandurik ez dagoena banandutzat hartzea, alegia-, aritmetikariak eta geometrialariak egiten dutena.

Y ?sta es la mejor manera de estudiar cada objeto, consider?ndolo como separado aunque no lo sea, que es precisamente lo que hacen el aritm?tico y el ge?metra.

Ainsi on ?tudiera au mieux chaque chose si on pose le non-s?par? en le s?parant, ce que font pr?cis?ment l'arithm?ticien et le g?om?tre.

Each question will be best investigated in this way-by setting up by an act of separation what is not separate, as the arithmetician and the geometer do.

Gizakia, hain zuzen ere, gizakia den aldetik bat eta zatiezina da.

El hombre en cuanto hombre es, en efecto, uno e indiviso;

En effet, l'?tre humain en tant qu'?tre humain est un et indivisible ;

For a man qua man is one indivisible thing;

Hau dela eta, aritmetikariak gizakia zatiezintzat hartzen du eta, ondoren, zatiezina den aldetik ezaugarririk ote 25) dagokion ikasten du;

y el primero lo considera como una cosa 25 indivisa, y luego se pregunta si el hombre tiene alg?n accidente en cuanto indiviso.

and the arithmetician supposed one indivisible thing, and then considered whether any attribute belongs to a man qua indivisible.

bestalde, geometrilariak ez du ikasten ez gizaki den aldetik, ez zatiezina den aldetik, solido den aldetik baizik, zatiezina ez delarik ere harengan eman litezkeen ezaugarriak, bi ezaugarri haiek kontuan hartu gabe ere eman baitaitezke, zalantzarik gabe.

Pero el ge?metra no lo estudia en cuanto hombre ni en cuanto indiviso, sino en cuanto s?lido. Pues las propiedades que podr?an darse en ?l incluso si no fuera indiviso, es evidente que pueden darse en ?l incluso sin ?stas;

Quant au g?om?tre, il ne le pose ni en tant qu'?tre humain ni en tant qu'indivisible, mais en tant que solide.

But the geometer treats him neither qua man nor qua indivisible, but as a solid. For evidently the properties which would have belonged to him even if perchance he had not been indivisible, can belong to him even apart from these attributes.

Beraz, geometrialariek zuzenki hitz egiten dute, diren gauzez hausnartzen dute, eta beraien ikergaia den-a da, "den-a" bi modutan esaten baita:

de suerte que dicen bien los ge?metras, y tratan de entes, y entes son los objetos de su estudio; pues el Ente es doble:

En effet, les propri?t?s qui lui appartiendraient, m?me si par hasard il n'?tait pas indivisible, peuvent ?videmment lui appartenir sans l'humanit? et l'indivisibilit? ;

Thus, then, geometers speak correctly;

bata entelekian eta bestea materia 30) moduan.

uno, 30 el ente en entelequia;

c'est donc pourquoi les g?om?tres ont raison, pourquoi ils raisonnent sur des ?tres [30] et pourquoi leurs objets sont des ?tres, car il y a deux types d'?tres, soit en ?tat accompli, soit ? la fa?on de la mati?re.

they talk about existing things, and their subjects do exist;

Eta Ongia eta Edertasuna errealitate desberdinak direnez (hura, hain zuzen ere, ekintzan ematen da beti, eta Edertasuna, berriz, gauza geldietan ere ematen da), zientzia matematikoek Ongiaz edo Edertasunaz ezer esaten ez dutela baieztatzen dutenak oker daude.

el otro, el ente material. Y, puesto que el Bien y la Belleza son cosas diversas (pues el primero est? siempre unido a la acci?n, mientras que la Belleza se da tambi?n en las cosas inm?viles), los que afirman que las ciencias matem ?ticas no dicen nada acerca de la Belleza o del Bien se equivocan. Dicen, en efecto, y ense?an much?simo;

Or, puisque le bien et le beau sont diff?rents (car le bien est toujours dans une action, tandis que le beau est aussi dans les ?tres immobiles), ceux qui affirment que les sciences math?matiques ne disent rien du beau ni du bien se trompent. En effet, elles en parlent et les montrent au plus haut point ;

for being has two forms-it exists not only in complete reality but also materially. Now since the good and the beautiful are different (for the former always implies conduct as its subject, while the beautiful is found also in motionless things), those who assert that the mathematical sciences say nothing of the beautiful or the good are in error. For these sciences say and prove a great deal about them;

Aitzitik, haiez hitz 35) egiten dute eta neurri handian erakusten dituzte.

pues, aunque no los nombren, si ense?an sus efectos y sus 35 proporciones, no omiten el hablar de ellos.

[35] car il n'est pas juste de dire que, si elles ne les nomment pas, mais les montrent dans leurs pratiques et leurs discours, elles n'en parlent pas.

if they do not expressly mention them, but prove attributes which are their results or their definitions, it is not true to say that they tell us nothing about them.

Bestalde, Edertasunaren formarik gorenak 1078b) ordena, proportzioa eta mugatzea dira, zientzia matematikoek neurri gorenean erakusten dituztenak, alegia.

Y las principales especies de lo Bello son el orden, la simetr?a y la delimitaci?n, que (1078b) se ense?an sobre todo en las ciencias matem?ticas.

Les formes les plus hautes du beau sont [1078b] 1' ordre, la proportion et le d?fini que montrent surtout les sciences math?matiques.

The chief forms of beauty are order and symmetry and definiteness, which the mathematical sciences demonstrate in a special degree. And since these (e.g.

Eta hauek (adibidez, ordena eta mugatzea) behintzat, gauza askoren kausa direnez, argi dago honelako kausaz ere nolabait hitz egingo dutela, hau da, Edertasuntzat hartutako kausaz.

Y, puesto que estas cosas (me refiero, por ejemplo, al orden y a la delimitaci?n) son causa de otras muchas, es evidente que las Matem?ticas llamar?n tambi?n en cierto modo causa a esta causa que 5 consideramos como la Belleza.

Et puisque, ? coup s?r, ces formes (je veux dire par exemple l'ordre et le d?fini) sont manifestement causes de beaucoup de choses, on pourrait dire ?videmment aussi qu'une telle cause [5] est cause comme le beau est cause, d'une certaine mani?re.

order and definiteness) are obviously causes of many things, evidently these sciences must treat this sort of causative principle also (i.e. the beautiful) as in some sense a cause.

5) Baina honi buruz zehatzago hitz egingo dut beste leku batean.

Pero de esto hablar? en otro lugar con m?s detalle.

Nous traiterons de cela ailleurs plus explicitement.

But we shall speak more plainly elsewhere about these matters.

IV

Cap?tulo 4

4

Part 4

Horrela, bada, esanarekin nahikoa azalduta dago errealitate matematikoak diren gauzak direla, eta nolabaitekoak direla ere, eta zentzu batean aurrekoak direla baina beste zentzu batean, ez.

As?, pues, baste con lo dicho acerca de las Cosas matem?ticas para mostrar que son entes y c?mo lo son, y en qu? sentido son anteriores y en qu? sentido no.

Donc, en ce qui concerne les objets des math?matiques, qu'ils sont des ?tres et comment ils sont des ?tres, comment ils sont ant?rieurs et comment ils ne sont pas ant?rieurs, on en a assez dit.

So much then for the objects of mathematics; we have said that they exist and in what sense they exist, and in what sense they are prior and in what sense not prior.

Eta Ideiei dagokienez, 10) Ideiei buruzko doktrina bera aztertu behar dugu lehenengoz, Zenbakien izaeratik guztiz aparte, hasieran Ideien existentzia baieztatu zuten lehenengoek onartu zuten bezala.

En cuanto a las Ideas, en primer lugar debemos examinar la opini?n misma relativa a la 10 Idea, separ?ndola totalmente de la naturaleza de los N?meros, tal como la concibieron desde el principio los primeros en afirmar la existencia de las Ideas.

En ce qui concerne les Id?es, il faut d'abord examiner cette doctrine de 1' [10] Id?e, sans aucunement la rattacher ? la nature des nombres, mais comme l'ont con?ue tout d'abord les premiers qui ont affirm? l'existence des Id?es.

Now, regarding the Ideas, we must first examine the ideal theory itself, not connecting it in any way with the nature of numbers, but treating it in the form in which it was originally understood by those who first maintained the existence of the Ideas.