DESCRIPCIÓN

En esta asignatura se presentan los métodos elementales (analíticos y cualitativos) para la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de orden uno. Se realiza un estudio exhaustivo de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior así como de los sistemas diferenciales lineales. Se analiza el problema de existencia y unicidad de soluciones del problema de Cauchy. Se estudian los sistemas autónomos. Se analiza el problema de contorno de Sturm-Liouville. Se tratan las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) de primer y segundo orden mediante el método de las características y el de separación de variables.

CONTEXTUALIZACIÓN

La asignatura de Ecuaciones diferenciales (3º) se interrelaciona con la de Ecuaciones en derivadas parciales (4º). En la primera parte de la asignatura de Ecuaciones diferenciales se desarrollan los resultados y técnicas relativas a las ecuaciones diferenciales ordinarias; en la segunda parte y en la asignatura de Ecuaciones en derivadas parciales se desarrollan los conceptos y las técnicas específicas de resolución de ecuaciones en derivadas parciales, así como las aplicaciones geométricas y físicas más importantes.

COMPETENCIAS

Aplicar los principales métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

Asimilar y enunciar con precisión los conceptos básicos y los resultados fundamentales de la teoría de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales, utilizando conceptos previos de análisis matemático. También resultados sobre dependencia respecto de las condiciones iniciales.

Conocer demostraciones rigurosas de resultados sobre ecuaciones diferenciales e idear nuevas demostraciones de resultados propuestos.

Utilizar métodos analíticos, gráficos y computacionales para la resolución de ecuaciones diferenciales concretas.

Resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Relacionar distintos problemas de la Geometría, la Física y el mundo real con las ecuaciones diferenciales

Extraer información cualitativa sobre las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria, sin necesidad de resolverla.

Resolver ecuaciones diferenciales y exponer su resolución de manera escrita y oral con el lenguaje matemático adecuado.

Traducir problemas reales en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

Entender el comportamiento de las ecuaciones diferenciales en entornos de puntos regulares o singulares y la noción de estabilidad en los puntos de equilibrio.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE.

Aplicar los métodos principales en la resolución de las ecuaciones diferenciales tanto ordinarias como en derivadas parciales.

Resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Interpretar algunos problemas reales en términos de ecuaciones diferenciales.

Obtener información cualitativa sobre las soluciones de ecuaciones diferenciales.

1. INTRODUCCIÓN: definiciones, concepto de solución, clasificación, descripción geométrica de las soluciones, familias de curvas y trayectorias ortogonales, problemas de origen científico-tecnológico.

2. MÉTODOS ELEMENTALES DE RESOLUCIÓN: ecuaciones de variables separadas, ecuaciones homogéneas, ecuaciones lineales, ecuación de Bernoulli, ecuación de Ricatti, ecuaciones exactas, factores integrantes, ecuaciones de segundo orden que se reducen a dos ecuaciones de primer orden.

3. ECUACIONES LINEALES: ecuaciones homogéneas, fórmula de Liouville, reducción de orden, ecuaciones no homogéneas: variación de las constantes, ecuaciones con coeficientes constantes, la ecuaciones de Euler.

4. SOLUCIÓN POR DESARROLLO EN SERIE: puntos regulares, puntos singulares regulares; ecuación indicial: raíces reales simples que no difieren en un entero, raíces reales simples que difieren en un entero, raíz real doble; funciones de Bessel.

5. SISTEMAS LINEALES: sistemas homogéneos, matriz fundamental, fórmula de Jacobi, sistemas con coeficientes constantes, el método de reducción, la exponencial matricial, el método de vectores propios.

6. TEORÍA DE EXISTENCIA: el problema de Cauchy, condición de Lipschitz, las aproximaciones de Picard, existencia y unicidad de solución, intervalo de existencia, dependencia de condiciones iniciales y parámetros.

7. SISTEMAS AUTÓNOMOS: el plano de fases, órbitas, puntos críticos, estabilidad y estabilidad asintótica; estabilidad de los sistemas lineales, clasificación de los puntos críticos; sistemas no lineales: estabilidad por linealización, sistemas conservativo, teoremas de Poincaré y Liapunov.

8. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE: Serie de Fourier de una función, serie de Fourier respecto a un sistema ortogonal, convergengia puntual y convergencia L^2. Problema de Sturm-Liouville, valores propios y funciones propias, existencia de valores propios, ortogonalidad de las funciones propias, problemas de Sturm-Liouville no homogéneos; función de Green.

9. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES: Ecuaciones en derivadas parciales de orden uno. Existencia de solución. Método de las características. Ecuaciones en derivadas parciales de orden dos de coeficientes constantes. Clasificación. Reducción a la forma canónica. Método de las características. Resolución de la ecuación hiperbólica en un semiplano, en un cuadrante.

10. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES: Resolución mediante separación de variables del problema de la cuerda vibrante. Resolución mediante separación de variables del problema de la distribución de temperaturas en una barra finita y en una placa circular. Resolución mediante separación de variables de la ecuación de Laplace en un rectángulo y en un recinto circular.

METODOLOGÍA

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía y el material de uso obligatorio. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá a los alumnos resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas.

En los seminarios se desarrollarán cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello.

Se propondrán a los estudiantes trabajos individuales o en grupo sobre teoría y problemas, para cuya realización y exposición dispondrán del apoyo del profesor. Parte importante del trabajo del alumno es de carácter personal. Los profesores orientarán en los trabajos propuestos. Los alumnos dispondrán de tutorías personales donde podrán aclarar cualquier duda o dificultad que se les presente en la asignatura.

• Continuous Assessment System
• Final Assessment System
• Tools and qualification percentages:
  • Ver orientaciones y renuncia (%): 100

Examenes escritos tanto de teoria como de ejercicios.

Peso: 85%-100%

Criterios:

-Precisión en los razonamientos y en las definiciones.

-Corrección del lenguaje matemático.

-Métodos de argumentación claros y ordenados explicando los pasos.

-Exactitud en los resultados de los ejercicios.





Trabajos de los seminarios (escritos y orales).

Peso: 0%-15%

Criterios:

-Respuestas correctas y buena utilización del lenguaje matemático

-Claridad en los razonamientos

-En las explicaciones orales orden y precisión

-Orden y precisión en la resolución de problemas

-Asistencia



La renuncia a la evaluacion continua se podra realizar hasta la semana 18 del curso, mediante escrito al responsable de la asignatura.

La evaluacion final consistira en un examen de toda la asignatura. Peso 100%.

Examen escrito. Peso %100.

Plataforma eGela si estuviera disponible.

Basic bibliography

BIBLIOGRAFÍA

*BOYCE-DIPRIMA, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa.

*A. DOU, Ecuaciones en derivadas parciales, Dossat.

*KISELIOV, KRASNOV Y MAKARENKO, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, MIR.

*R. K. NAGGLE Y E. B. SAFF, Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-Wesley Iberoamericana, 1992.

*II. PERAL ALONSO, Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales, Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid,1995.

*F. SIMMONS, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas, McGraw Hill.

In-depth bibliography

*M. BRAUN, Differential Equations and Their Applications, Springer Verlag, New York 1978.
*M. W. HIRSCH, S. SMALE, Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal, Alianza Editorial, Alianza Universidad, Textos nº 61.

Web addresses

http://www.ehu.eus/izaballa/Ecu_Dif/ecu_dif.htm