Programa espezifikoa: DFG-AEI 2023.
Estatuko Ikerketa Agentziaren eta Deutsche Forschungsgemeinschaft-en (GFA, Ikerketarako Alemaniako Fundazioa) arteko aldebiko deialdia, ikerketa zientifiko eta teknologikoaren arlo guztietan Alemaniaren eta Espainiaren arteko lankidetza sustatzeko.
PCI2024-155053-2 proiektua, MICIU/AEI/10.13039/501100011033 sozietateak finantzatua eta Europar Batasunak kofinantzatua
Kodea: PCI2024-155053-2
UPV/EHU: Onuraduna
UPV/EHU IP: Montserrat Casals Ruiz
Proiektuaren hasiera: 2024/12/31
Proiektuaren amaiera: 2027/12/30
Deskribapen laburra:
Bi ikuspegi daude, funtsean, mugagabe sortutako talde baten egitura aztertzeko. Aukera bat taldea goitik behatzea da: puntu batean eserita, distantzia amaigabean, taldeak objektu jarraitua dirudi, eta, beraz, metodo topologikoen eta geometrikoen bidez azter daiteke. Estrategia hori Gromovek hasi zuen 80ko hamarkadan, kono asintotikoak sartuta, eta funtsezko tresna bihurtu da zurruntasun kuasi-isometrikoarekin eta taldeen eskala handiko geometriaren beste alderdi batzuekin lotutako gaiak lantzeko. Aldi berean, antzeko ideiek Ripsen teoria bultzatu zuten zuhaitz errealetako taldeen ekintzei buruz, eta, azkenean, Sela ren aurrerapen handiak ekarri zituzten talde hiperbolikoen oinarrizko teoria eta haien automorfismo eta homomorfismoen egitura ulertzeko.
Beste aukera bat taldea behetik behatzea da: taldeari buruzko informazioa lortzen saiatzea, haren zatiduretan proiektatzen dituen itzalak oinarri hartuta, bereziki mugatuak. Horixe da zurruntasun profinitoaren arazo izugarri zailaren atzean ezkutatzen den funtsezko motibazioa --- talde bat bere koziente finituek zehazten badute----, duela gutxi aurrerapen batzuk bakarrik esperimentatzen hasi dena, nahiz eta 70eko hamarkadan Grothendiecken lanean planteatua izan.
Gure proiektuak bi perspektibak erabiliko ditu gainazalen mapaketa finituko klase-taldeak aztertzeko. Hau matematikan gehien ikasitako taldeen familietako bat da, bere egitura izugarri aberats eta konplexuagatik, eta baita ikerketa arlo askotan duen garrantziagatik ere: dimentsio txikiko topologiatik geometria konplexuraino, eta taldeen teoriatik hasi eta topologia algebraikoraino. Hala ere, talde horiei buruzko funtsezko galdera asko daude zabalik: Haien oinarrizko teoria egonkorra al da? Kähler dira? Ahalguztidunak dira?
Lehenengo helburu gisa, Ripsen teoriaren bertsio bat garatuko dugu, benetako zuhaitz handienen gaineko ekintzetarako, hau da, benetako cubing-ak. Mapeo-klaseen taldeen kono asintotikoak (baita RAAG eta birtualki bereziak diren taldeenak ere) benetako cubing-ak dira, eta, ondorioz, teoria hori urrats garrantzitsua da talde horien ereduen teoria aztertzeko.
Bigarrenik, mapaketa-klaseen taldeak Kähler ez direla frogatu nahi dugu. Hori lortzeko, Kähler taldeen eta mapaketa-klaseen taldeen azpitalde arrunten isomorfismo motak aztertuko dira.
Azkenik, mapeo-klaseen taldeen eta Kählerren taldeen zatidurak ikertuko ditugu, Burnside motakoei arreta berezia eskainiz.
Espero dugu honek mapaketa klaseen hondar-propietateekin zerikusia duten hainbat gai argituko dituela, bereziki ahalguztiduntasunarekin eta oinarrizkoak ez diren zatidura hiperbolikoen existentziarekin zerikusia dutenak.
Mapaketa klaseen taldeetan, benetako cubing-etan, Kählerren geometrian, ereduen teorian eta baliogabetze txikiko tekniketan konbinatuta dugun esperientziak kokapen pribilegiatuan jartzen gaitu norabide horietako bakoitzean aurrerapen zehatz eta esanguratsuak egiteko.