Aldagai konplexu bateko funtzioen oinarrizko teoria aztertzen da irakasgai honetan. Aldagai erreal bat edo anitzeko funtzioen kasuan ez bezala (Kalkulu Diferentziala eta Integrala I eta II irakasgaietan ikusita), kasu interesgarriena deribagarritasunarena da, funtzio deribagarriek askoz propietate aberatsagoak dituzte. Horietako batzuk eta haien aplikazioak ikusiko ditugu Analisi Erreal eta Konplexuko arlo ezberdinetan.



Kalkulu Diferentziala eta Integrala I eta II irakasgaiekin batera modulu bat osatzen du Analisi konplexuak. Denen artean aldagai erreal edo konplexu bateko eta aldagai erreal anitzeko kalkuluaren kontzeptuak, teknikak eta oinarrizko aplikazioak ematen dituzte. Moduluaren helburua da analisi matematikoan oinarrizkoak diren irakasgai horien ezagutza nahikoa lortzea gaiak ulertzeko eta hainbat arlotan erabili ahal izateko.



Irakasgaia jarraitzeko, ezinbestekoa da lehen mailako Kalkulu Diferentziala eta Integrala I eta II irakasgaietan irakatsitako diferentziagarritasunaren kontzeptua ezagutzea. Ez da funtsezkoa baina bai lagungarria Kalkulu Diferentziala eta Integrala II irakasgaian ikusten den kurben gaineko integrazioa ezagutzea.

GAITASUN ESPEZIFIKOAK:



M15CM18: Aldagai konplexuko funtzioen propietate nagusiak ezagutu. Funtzio analitikoak, funtzio harmonikoak eta oinarrizko funtzioak ezagutu.

M15CM19: Cauchyren teorema integral ezberdinen enuntziatuak eta aplikazioak bereganatu.

M15CM20: Funtzioak Taylor eta Laurenten serieetan garatu.

M15CM21: Hondarren teoremaren aplikazio eta ondorio nagusiak ezagutu.

M15CM22: Hondarren metodoaren bidez integralak kalkulatu. Integral inpropioen kalkulurako erabili.

M15CM23: Transformazio konformeen oinarrizko propietateak eta ezaugarri geometrikoak ezagutu.



IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK:



Aldagai konplexuko oinarrizko funtzioak ezagutu, hondarrak eta plano konplexuko eremuen gaineko integralak kalkulatu.

1. ZENBAKI KONPLEXUAK ETA PLANO KONPLEXUA: Eragiketak zenbaki konplexuekin, modulua eta argumentua, adierazpen polarra eta forma esponentziala, erroak, proiekzio estereografikoa.

2. FUNTZIO DERIBAGARRIAK: Limiteak eta jarraitutasuna, deribagarritasuna, holomorfotasuna, funtzio holomorfoen propietateak, Cauchy-Riemannen ekuazioak, funtzio harmonikoak eta harmoniko konjugatuak.

3. OINARRIZKO FUNTZIOAK: Funtzio esponentziala, logaritmoak eta logaritmo funtzioaren adarrak, berretura konplexuak, funtzio trigonometrikoak, hiperbolikoak eta haien alderantzizkoak.

4. INTEGRAZIO KONPLEXUA ETA CAUCHYREN TEOREMAK: Kurben gaineko integralak, jatorrizko funtzioak, Cauchyren teorema integrala, Cauchyren formula integrala funtzioetarako eta deribatuetarako, ondorioak (Moreraren teorema, Liouvilleren teorema, modulu maximoaren printzipioa).

5. TAYLORREN ETA LAURENTEN SERIEAK. PUNTU SINGULARRAK: Funtzio-segidak eta funtzio-serieak, berretura serieak, Taylorren serieak, Laurenten serieak, puntu singular isolatuen sailkapena eta karakterizazioa.

6. HONDARRAK ETA HAIEN APLIKAZIOAK: Hondarrak, Cauchyren hondarren teorema, zuzen errealaren gaineko integral inpropioen kalkulua, argumentuaren printzipioa, Rouchéren teorema.

7. TRANSFORMAZIO KONFORMEAK: Deribatuaren modulu eta argumentuaren esanahi geometrikoa, transformazio konformeak, zenbait transformazioren analisi geometrikoa.

Klase magistralak: teoriako gaiak azalduko dira, bibliografia gomendatuan oinarrituta.



Gelako praktikak: ikasleei proposaturiko ariketa eta galderak gelan ebatziko dira, klase magistraletan ikusitako gaiak ulertzeko eta lantzeko.



Mintegiak: irakasleak, irakasgaiaren edukiekin erlazionatutako lanak proposatuko dizkie ikasleei. Ikasleek, egindako lana erakutsiko dute mintegietan, haien lana aurkeztuz eta egindakoa argudiatuz.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikusi ORIENTAZIOAK (%): 100

1.- Teoria eta problemez osatutako azken azterketa idatzia: nota finalaren %80, gutxienez. Azterketa honetan ikasleak 4 puntu edo gehiago atera beharko ditu 10etik.



Ebaluazio-irizpideak:



-Arrazonamenduetan eta definizioetan zehaztasuna.

-Lengoai matematikoaren doitasuna.

-Argudio-metodoak argiak eta ordenatuak pausuak azalduz.

-Ariketen emaitzak zuzenak.



2.- Mintegietan parte-hartzea, banakako edo taldekako lanak, aurkezpenak, kontrol periodikoak (ez aukera guztiak derrigorrean): nota finalaren %20, gehienez.



Ebaluazio-irizpideak:



-Erantzun zuzenak eta lengoai matematikoaren erabilpen ona.

-Argitasuna argudioetan.

-Ahozko eta idatzizko azalpenetan, ordena eta zehaztasuna.

-Asistentzia.



Ebaluazio jarraituaren errenuntzia kurtsoko 9garren astera arte egin daiteke, irakasgaiaren arduradunari idazki bat bidaliz.



Ebaluazio finala irakasgai osoaren azterketaren bidez egingo da. Pisua % 100.

- Teoria eta problemez osatutako azterketa idatzia: nota finalaren %100.



Ebaluazio-irizpideak:



-Arrazonamenduetan eta definizioetan zehaztasuna.

-Lengoai matematikoaren doitasuna.

-Argudio-metodoak argiak eta ordenatuak pausuak azalduz.

-Ariketen emaitzak zuzenak.

eGela plataformaren bidez eskainitako materiala:

* Ariketak
* Mintegiak
* Apunteak

Oinarrizko bibliografia

AGARWAL R. P., PERERA K., PINELAS S. An Introduction to Complex Analysis. Springer, 2011.

APARICIO E. Teoría de funciones de variable compleja. UPV-EHU, 1998.

BROWN J.W., CHURCHILL R.V. Variable compleja y aplicaciones, 7a ed. McGraw-Hill, 2007.

CONWAY J. B., Functions of One Complex Variable. Springer-Verlag, 1986.

DUOANDIKOETXEA, J., RIVAS, J. Analisi Konplexua, EHUko Argitalpen Zerbitzua, 2017.

PALKA, B.P. An introduction to Complex Function Theory. Springer-Verlag ,1991.

STEIN, E.M., SHAKARCHI, R. Complex Analysis, Princeton University Press, 2003.

VOLKOVYSKI I, LUNTS G, ARAMANOVICH I. Problemas de la teoría de funciones de Variable Compleja. MIR, 1972.

Gehiago sakontzeko bibliografia

AHLFORS L. V., Complex Variables. McGraw-Hill, 1978.
LANG S. Complex Analysis. Springer, 1999.
LEVINSON N., REDHEFFER R. M., Curso de variable compleja. Reverté, 1990.
MARSDEN J. E., HOFFMANN M. J., Basic Complex Analysis. W.H. Freeman and Co. USA, 1987.
RUDIN W., Análisis real y complejo. McGraw-Hill / Interamericana de España, 1987.
SHAKARCHI R. Problems and Solutions for Complex Analysis. Springer, 1999.

Web helbideak

Martín Rivasen oinarrizko apunte egoki batzuk (UPV/EHU):
http://tp.lc.ehu.es/documents/problemas.pdf .
Online ikastaro bat:
http://math.fullerton.edu/mathews/complex.html .
Ikastaro idatziak, pdf formatuan, asko aurki daitezke. Adibidez: George Cainena (http://people.math.gatech.edu/~cain/winter99/complex.html), ingelesez, eta B. Cuartero eta F. Ruizena (http://www.unizar.es/analisis_matematico/varcompleja/prg_varcompleja.html), gaztelaniaz.
Terry Taoren ikastaro bat hemen:
http://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/132.1.00w/.
Edukien laburpena Physics Forums web orrialdean:
https://www.physicsforums.com/insights/an-overview-of-complex-differentiation-and-integration/ .
Mathematics Stack Exchange web orrialdea:
https://math.stackexchange.com.