Descripción y contextualización de la asignatura

En la actualidad es necesario disponer de diversas técnicas de trabajo para solucionar problemas de clasificación. En esta signatura se estudian técnicas de trabajo propias de la Topología Algebraica, capaces de resolver problemas topológicos con métodos algebraicos, y viceversa, problemas algebraicos con técnicas topológicas. En particular se estudia el concepto de homotopía y se introduce una potente invariante algebraico: el grupo fundamental de un espacio topológico, se aprende a calcularlo y se aplica para resolver diversos problemas.



Se explica el concepto de espacio recubridor y se clasifican utilizando el grupo universal.



Un concepto topológico de aplicación en diversos campos de la ciencia es estudiado en la Teoría de nudos. En este curso se presenta una introducción a este tema como ejemplo de aplicación de distintas técnicas algebraicas y topológicas desarrolladas en la primera parte del curso.

Convocatoria ordinaria: orientaciones y renuncia

CRITERIOS DE LA EVALUACIÓN CONTINUA:

- Realización de un trabajo individual consistente en una serie de ejercicios del apartado de Homotopía, Grupo fundamental y espacios recubridores: 50%

- Realización de un trabajo individual consistente en la clasificación topológica de un nudo concreto aplicando los conocimientos del apartado de Introducción a la teoría de nudos: 50%



Para aprobar la asignatura será necesario alcanzar una nota de 5 sobre 10 en cada uno de los dos trabajos individuales. La nota final será la media de ambas.



CRITERIOS DE LA EVALUACIÓN FINAL:

Los estudiantes que lo soliciten, podrán someterse a una evaluación final, que podrá consistir en una prueba única, o en un conjunto de pruebas y trabajos.

Se podrá establecer de manera excepcional la asistencia a determinadas sesiones presenciales, y la superación, en su caso, de las pruebas que en ellas se establezcan.

Los estudiantes deberán solicitar la evaluación diferenciada mediante escrito razonado dirigido al Coordinador del Máster, desde el momento de la matrícula hasta transcurridos, como máximo, cinco días desde el inicio del curso. La solicitud se acompañará de todos los documentos que acrediten la imposibilidad de seguir con normalidad el desarrollo del curso. La Comisión Académica del Máster, resolverá en el plazo máximo de veinte días.



RENUNCIA:

El alumnado que haya realizado las actividades a lo largo del curso, pero no se presente a la convocatoria ordinaria, será calificado como No presentado/a.

Convocatoria extraordinaria: orientaciones y renuncia

Los criterios de evaluación serán los mismos que en la convocatoria ordinaria. La evaluación de las actividades realizadas a lo largo del curso (ejercicios, seminarios) será válida para las dos convocatorias del curso. En consecuencia, el alumnado que haya superado estas actividades a lo largo del curso, en la convocatoria extraordinaria solo tendrá que presentarse al trabajo individual. En el caso del alumnado que no haya superado la evaluación de dichas actividades o haya elegido la modalidad de evaluación final, en la convocatoria extraordinaria deberá realizar, también, una prueba complementaria diseñada para la evaluación de las actividades realizadas a lo largo del curso. Dicha prueba puede consistir en una exposición oral, una demostración ante un ordenador o una descripción escrita de los conocimientos prácticos abordados en las actividades planteadas a lo largo del curso.

Temario

(1)Homotopía. Grupo fundamental. Espacios recubridores

- Homotopía de aplicaciones

- Homotopía de caminos

- El grupo fundamental

- El grupo fundamental de la circunferencia

- Teorema de Seifert-Van Kampen

- Ejemplos y aplicaciones

- Espacios recubridores

- Propiedades de levantamiento

- Aplicaciones en el cálculo del grupo fundamental de algunos espacios

(2)Introducción a la teoría de nudos

- Nudos y enlaces

- Representaciones de nudos

- Superficies de Seifert

- Nudos algebraicos

- Invariantes algebraicos

- Invariantes polinómicos

Bibliografía

Materiales de uso obligatorio

Apuntes de la asignatura que se entregaran al alumnado.

Bibliografía básica

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Bibliografía de profundización

• A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001



• W.S. Massey, Introducción a la topología algebraica, Reverté, 1982



• J.R. Munkres, Topología; Prentice Hall, 2002



• O. Ya. Viro, O.A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov, Elementary Topology. Problem Textbook, AMS, 2008



• G. Burde and H. Zieschang, Knots. Walter de Gruyter, 2003



• D. Rolfsen, Knots and Links, AMS Chelsea Publishing, 2003

Enlaces

• Página web de A. Hatcher: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/



• A. Hatcher, Algebraic Topology, versión preliminar online:



https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf



• C. Ivorra Castillo, Topología Algebraica (con aplicaciones a la geometría diferencial):



http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Topalg.pdf



• O. Ya. Viro, O.A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov, Elementary Topology. Problem Textbook:



http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/eng-book-nopfs.pdf